rainwen
2002-11-15, 07:52 PM
我剛從朋友那收到一封轉寄Mail，裡頭對於建構式數學說的很不錯，
所以轉貼給大家看看.........:)
第一篇：
建構數學
文史英
有一群游泳的朋友，已經失散多年了；最近有人發起聚餐，說是一定要拉我去。理由之一是，如果我不去，很多人就不會去。
我一點也不明白，為什麼自己突然變得這麼重要；但既然這麼重要，只好把別的事情排開。到了現場，看到每個人都沒有什麼改變，實在是叫人高興；我心中暗想，要趕快恢復每天游泳。
席間的話題，當然無非是敘舊。正當我體會出主辦人的苦心，他一定是對每個人都用了「你不去，別人就不去」的說法，才能把這些人都聚起來；這時，突然有人站起來，慎而重之的說：今天機會難得，我們一定要請專家談一下建構數學到底是怎麼回事。
原來如此，正應了「宴無好宴，會無好會」那句老話；我正想推辭，有一位媽媽就說了：還記得我們家那個小孩嗎？自從你幫她看了幾次數學，從那以後她的數學就一直不錯，考上大學還是靠數學的分數呢！又有人說：後來我們也想找你，但你不來游泳了，怎麼好意思啊？我說：對，我的那一套一定要在游泳池邊光著身子教，才會有用！
但大家還是要我講建構數學，於是，我只好把講了幾千遍的話，再對他們說一遍：比如說，除以一個分數，就是把它倒過來相乘，對吧？但要問為什麼可以這樣算的道理，我敢賭一塊錢，你們各位沒有一個人可以說清楚！
看到大家都點頭，我再接著說：現在的問題是，到底有沒有必要把道理說清楚，還是像我們從前學的，只要會算就好？以前沒有計算機的時候，也許會算是一個重要的本領，但在今天的時代，懂得推理和思考，不是更重要嗎?
我正想要怎麼再發揮「思考重於計算」的論點，卻有人忍不住了，搶著說：那為什麼要「倒過來相乘」？回答問題，永遠必發表意見重要，這是講課的第一原則，所以我只好把預計的長篇大論省下，開始舉例：比如說，有10個蘋果，假定每個人分到23個，總共可以分給幾個人？依照建構數學的方法，老師不能直接教「乘以32」，而是要帶領學生討論，有的學生會提議，先讓第一個人來拿走23個蘋果，再讓第二個人也來拿，最後有人拿不到了，數數幾個人拿到，不就是答案了?
我以為大家會說「這太麻煩了」，不料每個人都露出會心的微笑，意思是，從來沒想過還有這種方法；我再接著說：但這樣太麻煩了，老師就可以帶領學生觀察，到第三人拿過以後，就恰好是拿去了兩個蘋果；而「兩個蘋果」是個整數，應該是個關鍵，因為再接下來，就不必一個一個人來拿了，而是兩個兩個地把蘋果分出去，每兩個蘋果分給三個人！
這時，馬上有人說：對，所以10應該先除以2，代表每兩個蘋果分成一份；又有人接著說，分成五份以後，每一份再分給3個人，所以就要再乘3！我說：好了，你們大家一起「建構」了數學！然後，就沒有我說話的餘地了，大家七嘴八舌地談起來；有的說，學校老師一定不是這樣教的，有的說，考試一定不這樣考的，我知道他們都在家看過小孩的功課，應該都不是沒有根據，就趁機溜到外面，打電話聯絡忙不完的事情。
也許是耽擱地太久了，我回來的時候，已經換了話題；我小聲問旁邊的人，今天要交多少錢，收錢的人聽見了，馬上跟我說：剛才大家要我每個人十塊十塊地收，已經都收過了…
我一點也不耽心自己不用出錢，因為，第一，我不相信他們真的受得了那個麻煩，第二，以我們過去的交情，他們也絕不會讓我被請客…
回程的路上，我想著昨晚在教育學程的「數學教材教法」的課，課堂上我要同學們研究的，正是現在國一上各個版本關於分數除法的內容；但是，唉，怎麼說呢？沒有一個版本是照我剛才的方法教的，大意也許都差不多，但幾乎都沒有「一個一個來拿」的情境，而且，幾乎都只是用一兩個例子就想要讓學生學會計算規則，而並不帶領學生去發現那個規則是怎麼從特例中歸納出來的。
許多朋友勸我不要再為建構數學背書；然而，我總不能因為執行的偏差，就否定一種正當的教育哲學吧！所以怎麼辦呢？我只能拚了老命繼續寫「數學想想」！
編按：本文出自《人本教育札記》十一月號，第一百六十一期。
第二篇：
建構式數學
您好，個人對於最近炒得很熱的建構式數學發表一點小小意見。建構式數學基本上不算是錯誤的教學模式，但就和台灣政府之前推行的政策一樣，什麼都喜歡去抄美國，卻又學得四不像，更慘的是，每次解決問題，都只治標不治本，所有的配套都沒有，也不考慮大環境，才會把教改，改得一蹋糊塗。
相信大家都知道清朝時的百日維新和日本的明治維新，為何日本成功，而中國功敗垂成，有一大原因就是清朝只見西洋的船堅砲利，卻忽略了政治、經濟、文化等方面的配合，以為只要有了新式武器就可以強國，這樣的歷史教訓，是個人從國中歷史課本讀到的，諷刺的是，那些博士級的教改人士，卻早已忘了國中知識。
建構式數學和傳統數學立足點根本不一樣，在大中國地區，建構式數學絕對會失敗，就像傳統數學到美國也會失敗。為什麼呢？因為文化背景不同。美國一直以來是『加法文化』，而大中國是『減法文化』，我以下面的表來表達這個差異：
市場買賣稱重-
美國：以天秤為量度工具
大中國：以磅稱為量度工具
司法審判-
美國：嫌疑犯無罪，檢察官舉證加罪，代表案例：辛普森殺妻案
大中國：嫌疑犯有罪，疑犯自行舉證脫罪，代表案例：蘇建和案
收銀員找零錢-
美國：一張一張數給客戶，買75元給100元，找25元
大中國：95元的消費，客戶會給105元，店員找10元
接下來解釋上表的內涵：
(1) 稱重觀念：
美國以天坪稱重，所以數學等號相當於天坪的支點；大中國以磅稱稱重，數學等號相當於磅錘。
這代表什麼呢？美國的數學等號不會移動，大中國的數學等號會移動。
舉例言：
x+3=5,請問x等於多少？
美國算法—
x+3=5
x+3+(-3)=5+(-3)
x+0=2
x=2
大中國算法—
x+3=5
x=5-3
x=2
看出差異了嗎？
(2) 司法概念：
美國嫌疑犯在判刑前都被認為無罪，要由檢察官舉證他有罪，如果不能100%證明他有罪，必須相信他無罪。
大中國疑犯抓到算他倒楣，所有的罪都是他的，疑犯要自己想法子脫罪，如果不能100%證明自己無罪，就被認定有罪。
所以美國對疑犯的犯罪事實是從零往上加到100,而大中國是從100減到零。
印證了美國是避免冤獄，而大中國是寧可錯殺一百，不可放過一人。
吊詭的是，自漢武帝獨尊儒家以來，我們都自以為是孔孟的追隨者，但其實是孔荀的追隨者而不自知，美國才是以孟子人性本善為文化，而大中國卻是以荀子人性本惡為文化。
又是一個加法文化和減法文化的印證。
(3) 收銀員找錢
如果買75元的物品，而身上有125元，兩國的算法有何差異？
假設定義幣值有1,5,10,50,100面額(也就是以台幣為準)，
美國找錢法—
桌上放了100,而物品是75,所以要以有定義的面額往上加，加到100,差額就是需找回的錢。
算法：
(1) 先以較大面額加：75+50=125,超過100,所以50拿回，不能用50加。
(2) 再拿次大面額：75+10=85,小於100。
(3) 還不夠所以再加：85+10=95,小於100。
(4) 還不夠再加：95+10=105,哇！超過100了，所以拿回10,不能再用10來加了。
(5) 那就用第三小的面額試試：95+5=100,剛好100。
所以剛才放在桌上的10+10+5就是要找的錢了，所以要用兩個10元一個5元為找的零錢；
各位發現了嗎？像不像建構式數學？
大中國找錢法—
客戶想法：如果我給店員100,會找三顆銅板，那就給125,只需找一個50的銅板就好了。
算法：
(1) 給125,店員以125-75=50,所以找一顆50就好了。
看出差異了嗎？
另外，電腦是美國人發明的，所以是以加法文化設計得來，在電腦計算中是用加法處理所謂的減法，所以很多台灣資工大學生到畢業都不會算補數的題目，因為台灣是減法文化，當然弄不懂加法文化的電腦在算什麼。什麼叫做補數呢？以10進位補數為例：
(1)2的補數為8
(2)4的補數為6
觀念是，當數剛好進位的數值為滿數，而眼前的數字要達到滿數需”補”多少數，就是補數。所以個位數進位到十位數的第一個數為10,所以10為滿數，而2需補多少才會達到10呢？答案當然是8。
美國算出8是用2+1+1+1+1+1+1+1+1=10,1加了8次，所以得8。
台灣算出8是用10-2=8,所以得8。
如果瞭解這些差異性，就不難理解建構式數學在台灣失敗的原因，在文化差異沒有改變的情況下，請那些自以為很專業的教改『博士』不要再塗毒我們的下一代了，對於那些小朋友而言，他們不會錯亂嗎？只有在學校教的數學是”加法文化”產物，而日常生活看到的都是”減法文化”，舉例言，光交通問題就有兩種文化差異，美國人因加法文化，所以都怕違規，因為大家都是白紙，很怕被”加”上污點，台灣是反正大家都違規，警察也都認為所有的駕駛應該都會違規，除非你駕駛自行證明不會違規，那乾脆不違規不就虧大了，儘量偷雞摸狗，以投機心態違規。包括政治思想，股市漲跌，請問哪一處不是減法文化？
個人真的強烈呼籲那些博士，不要再閉門造車了，你們所自以為對的思想，百年前康有為、譚嗣同等人都已經吃過苦頭了，好好放下博士身段，去研讀最基本的國中歷史課本吧！歷史殷鑑不遠，是學習古人失敗的經驗比較快，還是自以為是的往前衝來學習比較快？
既然台灣是減法文化為背景，就請不要強灌小學生加法文化的數學吧！要推行這種加法文化的建構式數學，請先等大環境有合適的條件再推吧！
再如此亂搞下去，相信台灣即將面臨『軟性文化大革命』，準備訓練出一堆白癡級的下一代了。
小筆子筆
贊助商連結
所以轉貼給大家看看.........:)
第一篇：
建構數學
文史英
有一群游泳的朋友，已經失散多年了；最近有人發起聚餐，說是一定要拉我去。理由之一是，如果我不去，很多人就不會去。
我一點也不明白，為什麼自己突然變得這麼重要；但既然這麼重要，只好把別的事情排開。到了現場，看到每個人都沒有什麼改變，實在是叫人高興；我心中暗想，要趕快恢復每天游泳。
席間的話題，當然無非是敘舊。正當我體會出主辦人的苦心，他一定是對每個人都用了「你不去，別人就不去」的說法，才能把這些人都聚起來；這時，突然有人站起來，慎而重之的說：今天機會難得，我們一定要請專家談一下建構數學到底是怎麼回事。
原來如此，正應了「宴無好宴，會無好會」那句老話；我正想推辭，有一位媽媽就說了：還記得我們家那個小孩嗎？自從你幫她看了幾次數學，從那以後她的數學就一直不錯，考上大學還是靠數學的分數呢！又有人說：後來我們也想找你，但你不來游泳了，怎麼好意思啊？我說：對，我的那一套一定要在游泳池邊光著身子教，才會有用！
但大家還是要我講建構數學，於是，我只好把講了幾千遍的話，再對他們說一遍：比如說，除以一個分數，就是把它倒過來相乘，對吧？但要問為什麼可以這樣算的道理，我敢賭一塊錢，你們各位沒有一個人可以說清楚！
看到大家都點頭，我再接著說：現在的問題是，到底有沒有必要把道理說清楚，還是像我們從前學的，只要會算就好？以前沒有計算機的時候，也許會算是一個重要的本領，但在今天的時代，懂得推理和思考，不是更重要嗎?
我正想要怎麼再發揮「思考重於計算」的論點，卻有人忍不住了，搶著說：那為什麼要「倒過來相乘」？回答問題，永遠必發表意見重要，這是講課的第一原則，所以我只好把預計的長篇大論省下，開始舉例：比如說，有10個蘋果，假定每個人分到23個，總共可以分給幾個人？依照建構數學的方法，老師不能直接教「乘以32」，而是要帶領學生討論，有的學生會提議，先讓第一個人來拿走23個蘋果，再讓第二個人也來拿，最後有人拿不到了，數數幾個人拿到，不就是答案了?
我以為大家會說「這太麻煩了」，不料每個人都露出會心的微笑，意思是，從來沒想過還有這種方法；我再接著說：但這樣太麻煩了，老師就可以帶領學生觀察，到第三人拿過以後，就恰好是拿去了兩個蘋果；而「兩個蘋果」是個整數，應該是個關鍵，因為再接下來，就不必一個一個人來拿了，而是兩個兩個地把蘋果分出去，每兩個蘋果分給三個人！
這時，馬上有人說：對，所以10應該先除以2，代表每兩個蘋果分成一份；又有人接著說，分成五份以後，每一份再分給3個人，所以就要再乘3！我說：好了，你們大家一起「建構」了數學！然後，就沒有我說話的餘地了，大家七嘴八舌地談起來；有的說，學校老師一定不是這樣教的，有的說，考試一定不這樣考的，我知道他們都在家看過小孩的功課，應該都不是沒有根據，就趁機溜到外面，打電話聯絡忙不完的事情。
也許是耽擱地太久了，我回來的時候，已經換了話題；我小聲問旁邊的人，今天要交多少錢，收錢的人聽見了，馬上跟我說：剛才大家要我每個人十塊十塊地收，已經都收過了…
我一點也不耽心自己不用出錢，因為，第一，我不相信他們真的受得了那個麻煩，第二，以我們過去的交情，他們也絕不會讓我被請客…
回程的路上，我想著昨晚在教育學程的「數學教材教法」的課，課堂上我要同學們研究的，正是現在國一上各個版本關於分數除法的內容；但是，唉，怎麼說呢？沒有一個版本是照我剛才的方法教的，大意也許都差不多，但幾乎都沒有「一個一個來拿」的情境，而且，幾乎都只是用一兩個例子就想要讓學生學會計算規則，而並不帶領學生去發現那個規則是怎麼從特例中歸納出來的。
許多朋友勸我不要再為建構數學背書；然而，我總不能因為執行的偏差，就否定一種正當的教育哲學吧！所以怎麼辦呢？我只能拚了老命繼續寫「數學想想」！
編按：本文出自《人本教育札記》十一月號，第一百六十一期。
第二篇：
建構式數學
您好，個人對於最近炒得很熱的建構式數學發表一點小小意見。建構式數學基本上不算是錯誤的教學模式，但就和台灣政府之前推行的政策一樣，什麼都喜歡去抄美國，卻又學得四不像，更慘的是，每次解決問題，都只治標不治本，所有的配套都沒有，也不考慮大環境，才會把教改，改得一蹋糊塗。
相信大家都知道清朝時的百日維新和日本的明治維新，為何日本成功，而中國功敗垂成，有一大原因就是清朝只見西洋的船堅砲利，卻忽略了政治、經濟、文化等方面的配合，以為只要有了新式武器就可以強國，這樣的歷史教訓，是個人從國中歷史課本讀到的，諷刺的是，那些博士級的教改人士，卻早已忘了國中知識。
建構式數學和傳統數學立足點根本不一樣，在大中國地區，建構式數學絕對會失敗，就像傳統數學到美國也會失敗。為什麼呢？因為文化背景不同。美國一直以來是『加法文化』，而大中國是『減法文化』，我以下面的表來表達這個差異：
市場買賣稱重-
美國：以天秤為量度工具
大中國：以磅稱為量度工具
司法審判-
美國：嫌疑犯無罪，檢察官舉證加罪，代表案例：辛普森殺妻案
大中國：嫌疑犯有罪，疑犯自行舉證脫罪，代表案例：蘇建和案
收銀員找零錢-
美國：一張一張數給客戶，買75元給100元，找25元
大中國：95元的消費，客戶會給105元，店員找10元
接下來解釋上表的內涵：
(1) 稱重觀念：
美國以天坪稱重，所以數學等號相當於天坪的支點；大中國以磅稱稱重，數學等號相當於磅錘。
這代表什麼呢？美國的數學等號不會移動，大中國的數學等號會移動。
舉例言：
x+3=5,請問x等於多少？
美國算法—
x+3=5
x+3+(-3)=5+(-3)
x+0=2
x=2
大中國算法—
x+3=5
x=5-3
x=2
看出差異了嗎？
(2) 司法概念：
美國嫌疑犯在判刑前都被認為無罪，要由檢察官舉證他有罪，如果不能100%證明他有罪，必須相信他無罪。
大中國疑犯抓到算他倒楣，所有的罪都是他的，疑犯要自己想法子脫罪，如果不能100%證明自己無罪，就被認定有罪。
所以美國對疑犯的犯罪事實是從零往上加到100,而大中國是從100減到零。
印證了美國是避免冤獄，而大中國是寧可錯殺一百，不可放過一人。
吊詭的是，自漢武帝獨尊儒家以來，我們都自以為是孔孟的追隨者，但其實是孔荀的追隨者而不自知，美國才是以孟子人性本善為文化，而大中國卻是以荀子人性本惡為文化。
又是一個加法文化和減法文化的印證。
(3) 收銀員找錢
如果買75元的物品，而身上有125元，兩國的算法有何差異？
假設定義幣值有1,5,10,50,100面額(也就是以台幣為準)，
美國找錢法—
桌上放了100,而物品是75,所以要以有定義的面額往上加，加到100,差額就是需找回的錢。
算法：
(1) 先以較大面額加：75+50=125,超過100,所以50拿回，不能用50加。
(2) 再拿次大面額：75+10=85,小於100。
(3) 還不夠所以再加：85+10=95,小於100。
(4) 還不夠再加：95+10=105,哇！超過100了，所以拿回10,不能再用10來加了。
(5) 那就用第三小的面額試試：95+5=100,剛好100。
所以剛才放在桌上的10+10+5就是要找的錢了，所以要用兩個10元一個5元為找的零錢；
各位發現了嗎？像不像建構式數學？
大中國找錢法—
客戶想法：如果我給店員100,會找三顆銅板，那就給125,只需找一個50的銅板就好了。
算法：
(1) 給125,店員以125-75=50,所以找一顆50就好了。
看出差異了嗎？
另外，電腦是美國人發明的，所以是以加法文化設計得來，在電腦計算中是用加法處理所謂的減法，所以很多台灣資工大學生到畢業都不會算補數的題目，因為台灣是減法文化，當然弄不懂加法文化的電腦在算什麼。什麼叫做補數呢？以10進位補數為例：
(1)2的補數為8
(2)4的補數為6
觀念是，當數剛好進位的數值為滿數，而眼前的數字要達到滿數需”補”多少數，就是補數。所以個位數進位到十位數的第一個數為10,所以10為滿數，而2需補多少才會達到10呢？答案當然是8。
美國算出8是用2+1+1+1+1+1+1+1+1=10,1加了8次，所以得8。
台灣算出8是用10-2=8,所以得8。
如果瞭解這些差異性，就不難理解建構式數學在台灣失敗的原因，在文化差異沒有改變的情況下，請那些自以為很專業的教改『博士』不要再塗毒我們的下一代了，對於那些小朋友而言，他們不會錯亂嗎？只有在學校教的數學是”加法文化”產物，而日常生活看到的都是”減法文化”，舉例言，光交通問題就有兩種文化差異，美國人因加法文化，所以都怕違規，因為大家都是白紙，很怕被”加”上污點，台灣是反正大家都違規，警察也都認為所有的駕駛應該都會違規，除非你駕駛自行證明不會違規，那乾脆不違規不就虧大了，儘量偷雞摸狗，以投機心態違規。包括政治思想，股市漲跌，請問哪一處不是減法文化？
個人真的強烈呼籲那些博士，不要再閉門造車了，你們所自以為對的思想，百年前康有為、譚嗣同等人都已經吃過苦頭了，好好放下博士身段，去研讀最基本的國中歷史課本吧！歷史殷鑑不遠，是學習古人失敗的經驗比較快，還是自以為是的往前衝來學習比較快？
既然台灣是減法文化為背景，就請不要強灌小學生加法文化的數學吧！要推行這種加法文化的建構式數學，請先等大環境有合適的條件再推吧！
再如此亂搞下去，相信台灣即將面臨『軟性文化大革命』，準備訓練出一堆白癡級的下一代了。
小筆子筆
贊助商連結